Soal dan Pembahasan – Induksi Matematika pada Deret dan Ketaksamaan Bilangan

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan $P(n) : 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)} {2}.$ 
Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh
$P(1) : 1 = \dfrac{1(1+1)} {2}.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$P(k) : 1 + 2+ 3 + \cdots + k= \dfrac{k(k+1)} {2}.$
Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$\begin{aligned} P(k+1) & : \, 1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k+1) \\ & = \dfrac{(k+1)(k+2)} {2}. \bigstar \end{aligned}$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \underbrace{1 + 2 + 3 + \cdots + k}_{P(k)} + (k+1) & = \dfrac{k(k+1)} {2} + \dfrac{2(k+1)} {2} \\ & = \dfrac{(k+1)(k+2)}{2}. && \bigstar \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan $P(n): 2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = n^2+n.$
Langkah Basis:
Untuk $n = 1,$ diperoleh
$P(1): 2 = 1^2 + 1.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$P(k): 2 + 4 + 6 + \cdots + 2k= k^2+k.$
Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{aligned} P(k+1): &~ 2 + 4 + 6 + \cdots + 2k + 2(k+1) \\ & = (k+1)^2+(k+1) && \bigstar \end{aligned} $$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \underbrace{2 + 4 + 6 + \cdots + 2k}_{P(k)} + 2(k+1) & = (k^2 + k) + (2k+2) \\ & = (k^2 + 2k + 1) + (k + 1) \\ & = (k+1)^2+(k+1). \bigstar \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n): 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)} {6}.$$Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh
$P(1): 1^2 = \dfrac{1(1+1)(2+1)} {6} = 1.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k): 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 = \dfrac{k(k+1)(2k+1)} {6}.$$Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{aligned} P(k+1):~& 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2 \\ & = \dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)} {6}. && \bigstar \end{aligned}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \underbrace{1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2}_{P(k)} + (k+1)^2  & = \dfrac{k(k+1)(2k+1)} {6} + (k+1)^2 \\ & = (k+1) \times \dfrac{k(2k+1)+6(k+1)} {6} \\ & = (k+1) \times \dfrac{2k^2 + 7k+ 6}{6} \\ & = \dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)} {6}. && \bigstar \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan $P(n): 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1)= n^2.$
Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh
$P(1): 1 = 1^2.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$P(k): 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1)= k^2.$
Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{aligned} P(k+1) &: 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1) + (2k+1) \\ & = (k+1)^2. && \bigstar \end{aligned}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned}  \underbrace{1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1)}_{P(k)} + (2k+1) &  = k^2 + 2k+1\\ & = (k+1)^2. && \bigstar \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n): 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)} {3}.$$Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh
$P(1): 1(2) = \dfrac{1(1+1)(1+2)} {3} = 2.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k): 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + k(k+1)= \dfrac{k(k+1)(k+2)} {3}.$$Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{aligned} P(k+1) & : 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + k(k+1) + (k+1)(k+2) \\ & = \dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)} {3}. && \bigstar \end{aligned}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & \underbrace{1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + k(k+1)}_{P(k)} + (k+1)(k+2) \\ & = \dfrac{k(k+1)(k+2)} {3} + \dfrac{3(k+1)(k+2)} {3} \\ & = \dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)} {3}. &&  \bigstar \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$P(n): \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{n} {2n+1}.$
Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh
$\begin{aligned} P(1): \dfrac{1}{(2(1)-1)(2(1)+1)} & = \dfrac{1}{2(1)+1} \\ & = \dfrac{1}{3}. \end{aligned}$
Pernyataan di atas benar. Jadi, $P(n)$ benar untuk $n = 1$. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $m,$ berlaku
$P(m) : \displaystyle \sum_{k=1}^m \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{m} {2m+1}.$
Asumsikan $P(m)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(m+1)$ juga benar dengan
$$P(m+1) : \displaystyle \boxed{\sum_{k=1}^{m+1} \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{m+1}{2m+3}}.$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^{m+1} \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}  & = \underbrace{\sum_{k=1}^m \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}} _{P(m)} + \sum_{k=m+1}^{m+1} \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} \\ & = \dfrac{m} {2m+1}+ \dfrac{1}{(2m+1)(2m+3)} \\ & = \dfrac{m(2m+3)+1}{(2m+1)(2m+3)} \\ & = \dfrac{2m^2+3m+1}{(2m+1)(2m+3)} \\ & = \dfrac{\cancel{(2m+1)}(m+1)}{\cancel{(2m+1)}(2m+3)} \\ & = \boxed{\dfrac{m+1}{2m+3}}. \end{aligned}$$Jadi, $P(m+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $m,$ kebenaran $P(m)$ mengimplikasikan kebenaran $P(m+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$  

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan $P(n): S_n = \dfrac{1}{2}n(2a + (n-1)b).$
Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, didapat $P(1): S_1 = \dfrac{1}{2}(1)(2a) = a.$
Pernyataan ini benar karena jumlah satu suku pertama jelas adalah suku pertama itu sendiri. Jadi, $P(n)$ benar untuk $n = 1$. Langkah basis selesai. 
Langkah induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$P(k): S_k = \dfrac{1}{2}k(2a + (k-1)b).$
Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$P(k+1): S_{k+1} = \dfrac{1}{2}(k+1)(2a + kb).~~\bigstar$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} S_{k+1} & = S_k + U_{k+1} \\ & = \dfrac{1}{2}(k) (2a+(n-1)b) + (a + kb) \\ & = ak + \dfrac{1}{2}bk^2 + a + \dfrac{1}{2}bk \\ & = \left(\dfrac{1}{2}k+\dfrac{1}{2}\right) (2a+kb) \\ & = \dfrac{1}{2}(k+1)(2a+kb). && \bigstar \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$
Catatan:
Dalam barisan aritmetika, suku ke-$n$ adalah $U_n = a + (n -1)b$ dengan $a$ merupakan suku pertama, sedangkan $b$ adalah beda antarsuku.

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan $P(n): S_n = \dfrac{a(r^n-1)} {r-1}.$
Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh
$P(1): S_1 = \dfrac{a(r^1-1)} {r -1} = a.$
Pernyataan di atas benar karena jumlah satu suku pertama jelas adalah suku pertama itu sendiri. Jadi, $P(n)$ benar untuk $n = 1$. Langkah basis selesai. 
Langkah induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$P(k): S_k = \dfrac{a(r^k-1)} {r-1}.$
Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$P(k+1): S_{k+1} = \dfrac{a(r^{k+1} -1)}{r -1}.~~\bigstar$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} S_{k+1} & = S_k + U_{k+1} \\ & =  \dfrac{a(r^k-1)} {r-1} + ar^k \\ & = \dfrac{a(r^k -1) + ar^k (r -1)}{r -1} \\ & = \dfrac{a(\cancel{r^k} -1 + r^{k+1} \cancel{-r^k})}{r-1} \\ & = \dfrac{a(r^{k+1} -1)}{r-1}. && \bigstar \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$
Catatan:
Dalam barisan geometri, suku ke-$n$ adalah $U_n = ar^{n-1}.$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n):  1^2 -2^2 + 3^2 -\cdots + (-1)^{n+1}n^2 = (-1)^{n+1} \dfrac{n(n+1)}{2}.$$Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh
$P(1): 1^2 = (-1)^{1+1}\dfrac{1(1+1)} {2} = 1.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai. 
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k) : 1^2 -2^2 + 3^2 -\cdots + (-1)^{k+1}  = (-1)^{k+1}\dfrac{k(k+1)} {2}.$$Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{aligned} P(k+1) & : 1^2 -2^2 +3^2-\cdots + (-1)^{k+1}k^2 + (-1)^{k+2}(k+1)^2 \\ & = (-1)^{k+2}\dfrac{(k+1)(k+2)} {2} && \bigstar \end{aligned}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & \underbrace{1^2 -2^2 +3^2-\cdots + (-1)^{k+1}k^2}_{P(k)} + (-1)^{k+2}(k+1)^2 \\ & = (-1)^{k+1}\dfrac{k(k+1)} {2} + (-1)^{k+2}(k+1)^2 \\ & = (-1)^{k+1}\dfrac{k(k+1)} {2} + \dfrac{2(-1)^{k+2}(k+1)^2}{2} \\ & = \dfrac{(-1)^k(k+1)(-k + 2(k+1))}{2} \\ & = \dfrac{(-1)^k(k+1)(k+2)}{2} \\ & = \dfrac{(-1)^{k+2}(k+1)(k+2)}{2}. &&  \bigstar \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$
Catatan: $$\boxed{(-1)^{k+2} = (-1)^k(-1)^2 = (-1)^k(1) = (-1)^k}$$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n): 1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2n-1)^2 = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)} {3}.$$Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh
$P(1): 1^2 = \dfrac{1(2(1)-1)(2(1)+1)} {3} = 1.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai. 
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k): 1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k -1)^2 = \dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3}.$$Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{aligned} P(k+1) & :  1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k -1)^2 + (2k + 1)^2 \\ & = \dfrac{(k+1)(2k+1)(2k+3)} {3}. && \bigstar \end{aligned}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & \underbrace{1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k -1)^2}_{P(k)} + (2k + 1)^2 \\ & = \dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3} + (2k+1)^2 \\ & = (2k+1)\left(\dfrac{k(2k-1) + 3(2k+1)} {3}\right) \\ & = (2k+1)\left(\dfrac{2k^2+5k+3}{3}\right) \\& = (2k+1)\left(\dfrac{(2k+3)(k+1)} {3}\right) \\ & = \dfrac{(k+1)(2k+1)(2k+3)} {3}. &&  \bigstar \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n): 1^3 + 3^3 + 5^3 + \cdots + (2n-1)^3 = n^2(2n^2-1).$$Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh
$P(1): 1^3 = 1^2(2(1)^2-1) = 1.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$\begin{aligned} P(k): 1^3 + 3^3 & + 5^3 + \cdots + \\ & (2k-1)^3 = \color{blue}{k^2(2k^2-1)}. \end{aligned}$
Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga bernilai benar dengan
$$\begin{aligned} P(k+1): 1^3 + 3^3 + & 5^3 + \cdots + (2k-1)^3 + (2k + 1)^3 \\ &  = \color{red}{(k+1)^2(2(k+1)^2-1)}. \end{aligned}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & \underbrace{1^3 + 3^3 + 5^3 + \cdots + (2k-1)^3}_{P(k)} + (2k + 1)^3 \\ & = \color{blue}{k^2(2k^2-1)} + (2k+1)^3 \\ & = 2k^4-k^2+8k^3+12k^2+6k+1 \\ &= 2k^4+8k^3+11k^2+6k+1 \\ & = (k^2+2k+1)(2k^2+4k+1) \\ & = \color{red}{(k+1)^2(2(k+1)^2-1)}. \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n): \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{n}{n+1}.$$Langkah Basis:
Untuk $n=1$, diperoleh
$P(1): \dfrac{1}{1 \cdot 2} = \dfrac{1} {1+1} = \dfrac{1}{2}.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k): \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{k}{k+1}.$$Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar  dengan
$$P(k+1): \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \dfrac{1}{k(k+1)} + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)} = \dfrac{k+1}{k+2}.~~\bigstar$$Perhatikan bahwa
$$ \begin{aligned} \underbrace{\dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \dfrac{1}{k(k+1)}}_{P(k)} + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}  & = \dfrac{k}{k+1} + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)} \\ & = \dfrac{k(k+2) + 1}{(k+1)(k+2)} \\ & = \dfrac{k^2 + 2k + 1}{(k+1)(k+2)} \\ & = \dfrac{\cancel{(k+1)}(k+1)}{\cancel{(k+1)}(k+2)} \\ & = \dfrac{k+1}{k+2}. &&  \bigstar\end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$\begin{aligned} P(n): \dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}&+ \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dfrac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+ \cdots + \\ & \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)} = \dfrac{n(n+3)} {4(n+1)(n+2)}. \end{aligned}$$Langkah Basis:
Untuk $n=1,$ diperoleh
$P(1): \dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \dfrac{1(1+3)} {4(1+1)(1+2)} = \dfrac{1}{6}.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$\begin{aligned} P(k): \dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}&+ \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dfrac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+ \cdots + \\ & \dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{k(k+3)} {4(k+1)(k+2)}. \end{aligned}$$Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{aligned} P(k+1): & \dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+ \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dfrac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+ \cdots + \dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} \\ & + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)} = \dfrac{(k+1)(k+4)} {4(k+2)(k+3)}.~~\bigstar \end{aligned}$$Perhatikan bahwa
$$ \begin{aligned} & \underbrace{\dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dfrac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+ \cdots + \dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}}_{P(k)}  + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)} \\ & = \dfrac{k(k+3)} {4(k+1)(k+2)} + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)} \\ & = \dfrac{k(k+3)^2}{4(k+1)(k+2)(k+3)} + \dfrac{4}{4(k+1)(k+2)(k+3)} \\ & = \dfrac{k^3 + 6k^2 + 9k + 4}{4(k+1)(k+2)(k+3)} \\ & = \dfrac{\cancel{(k+1)} (k+1)(k+4)}{4\cancel{(k+1)} (k+2)(k+3)} \\ & = \dfrac{(k+1)(k+4)} {4(k+2)(k+3)}.~~ \bigstar\end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{n(n+1) \cdots (n+m-1)} & = \dfrac{1}{m-1} \cdot \dfrac{(n+m-1)-n}{n(n+1)\cdots (n+m-1)} \\ & = \dfrac{1}{m-1} \cdot \left(\dfrac{1}{n(n+1) \cdots (n+m-2)}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2) \cdots (n+m-1)}\right). \end{aligned}$$Misalkan $f(n, m) = \dfrac{1}{n(n+1) \cdots (n+m-1)}$ sehingga
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^n f(k, m) & = \dfrac{1}{m-1} \sum_{k=1}^n (f(k, m-1)-f(k+1, m-1)) \\ & = \dfrac{1}{m-1} \cdot \left(\sum_{k=1}^n f(k, m-1)-\sum_{k=2}^{n+1} f(k, m-1)\right) \\ & = \dfrac{1}{m-1} \cdot (f(1, m-1)-f(n+1, m-1)) \\ & = \dfrac{1}{m-1} \cdot \left(\dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdots (m-1)} -\dfrac{1}{(n+1)(n+2) \cdots (n+m-1)}\right). \end{aligned}$$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$P(n) : \displaystyle \sum_{k=1}^n k \cdot 3^k = \dfrac{(2n-1) \cdot  3^{n+1}+3}{4}.$
Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh
$$P(1): 1 \cdot 3^1 = \dfrac{(2(1)-1) \cdot 3^{1+1}+3}{4} = 3.$$Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai. 
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $m,$ berlaku
$$P(m): \displaystyle \sum_{k=1}^m k \cdot 3^k = \dfrac{(2m-1) \cdot 3^{m+1}+3}{4}.$$Asumsikan $P(m)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(m+1)$ juga benar dengan
$$P(m+1): \displaystyle \boxed{\sum_{k=1}^{m+1} k \cdot 3^k = \dfrac{(2m+1) \cdot 3^{m+2}+3}{4}}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^{m+1} k \cdot 3^k & = \underbrace{\sum_{k=1}^m k \cdot 3^k} _{P(m)} + \sum_{k=m+1}^{m+1} k \cdot 3^k \\ & = \dfrac{(2m-1) \cdot 3^{m+1}+3}{4} + (m+1). 3^{m+1} \\ & = \dfrac{(2m-1) \cdot 3^{m+1}+3}{4} + \dfrac{4(m+1) \cdot 3^{m+1}} {4} \\ & = \dfrac{(2m-1+4m+4) \cdot 3^{m+1} + 3}{4} \\ & = \dfrac{(6m + 3) \cdot 3^{m+1} + 3}{4} \\ & = \dfrac{3(2m+1) \cdot 3^{m+1} + 3}{4} \\ & = \boxed{\dfrac{(2m+1) \cdot 3^{m+2} + 3}{4}} \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $m,$ kebenaran $P(m)$ mengimplikasikan kebenaran $P(m+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

Misalkan $n$ merupakan bilangan cacah. Definisikan $$P(n): 1+2+2^2+2^3+\cdots+2^n = 2^{n+1} -1.$$Langkah Basis:
Untuk $n = 0$, diperoleh
$P(0) : 1 = 2^{0+1}-1 = 1.$
Pernyataan $P(0)$ bernilai benar. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan cacah $k,$ berlaku
$$P(k): 1+2+2^2+2^3+\cdots+2^k= 2^{k+1} -1.$$Asumsikan $ P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga bernilai benar dengan
$$P(k+1): 1+2+2^2+2^3+\cdots+2^k + 2^{k+1} = 2^{k+2} -1.$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & \underbrace{1+2+2^2+2^3+\cdots+2^k}_{2^{k+1} -1} + 2^{k+1} \\ & = 2^{k+1} -1 + 2^{k+1} = 2 \cdot 2^{k+1} -1 \\ & =2^{k+2} -1. \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(0)$ benar dan untuk sembarang bilangan cacah $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap bilangan cacah $n.$ $\blacksquare$ 

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n): 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2.$$Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh
$P(1): 1^3 = \left[\dfrac{1(1+1)}{2}\right]^2 = 1.$
Pernyataan $P(1)$ bernilai benar. Langkah basis selesai. 
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k): 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 = \left[\dfrac{k(k+1)}{2}\right]^2.$$Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga bernilai benar dengan
$$P(k+1): 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k+1)^3 = \left[\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}\right]^2.$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \underbrace{1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3}_{P(k)} + (k+1)^3 & = \left[\dfrac{k(k+1)}{2}\right]^2 + (k+1)^3 \\ & = \dfrac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4} \\ & = (k+1)^2\dfrac{k^2+4(k+1)}{4} \\ & = (k+1)^2\dfrac{(k+2)^2}{4} \\ & =  \left[\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}\right]^2. \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$ 

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n): 1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 = \dfrac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}.$$Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh
$$P(1): 1^4 =\dfrac{1(1+1)(6(1)^3+9(1)^2+(1)-1)}{30} = 1.$$Pernyataan di atas benar. Jadi, $P(n)$ benar untuk $n = 1$. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k): 1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + k^4 = \dfrac{k(k+1)(6k^3+9k^2+k-1)}{30}.$$Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{aligned} P(k+1) & : 1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + k^4 + (k+1)^4 \\ &  = \dfrac{(k+1)(k+2)(6(k+1)^3+9(k+1)^2+(k+1)-1)}{30}. \end{aligned}$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} & \underbrace{1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + k^4}_{P(k)} + (k+1)^4 \\ & = \dfrac{k(k+1)(6k^3+9k^2+k-1)}{30} + (k+1)^4 \\ & = \dfrac{k(k+1)(6k^3+9k^2+k-1)}{30} + \dfrac{30(k+1)^4}{30} \\ & = (k+1)\dfrac{6k^4+9k^3+k^2-k+30k^3+90k^2+90k+30}{30} \\ & = (k+1)\dfrac{6k^4+39k^3+91k^2+89k+30}{30} \\ & = (k+1)(k+2)\dfrac{6k^3+27k^2+37k+15}{30} \\ & =  \dfrac{(k+1)(k+2)(6(k+1)^3+9(k+1)^2+(k+1)-1)}{30}. \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$ 

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 1^3 & = 1 \cdot 0 + 1 \\ 2^3 & = (2 \cdot 1 + 1) + (2 \cdot 1 + 3) \\ 3^3 & = (3 \cdot 2 + 1) + (3 \cdot 2 + 3) + (3 \cdot 2 + 5) \\ 4^3 & = (4 \cdot 3 + 1) + (4 \cdot 3 + 3) + (4 \cdot 3 + 5) + (4 \cdot 3 + 7). \end{aligned}$$Dari sini, kita bisa membuat konjektur bahwa
$$n^3= (n(n-1) + 1) + (n(n-1) + 3) + \cdots + (n(n-1) + (2n-1))$$berlaku untuk setiap bilangan asli $n.$
Kita akan membuktikan kebenaran konjektur ini dengan menggunakan induksi matematika.
Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n) : n^3 = (n(n-1) + 1) + (n(n-1) + 3) + \cdots + (n(n-1) + (2n-1)).$$Langkah Basis:
$P(1)$ benar karena $1^3 = 1(1-1) + 1 = 1.$ Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ $P(k)$ benar, yaitu $$k^3 = (k(k-1) + 1) + (k(k-1) + 3) + \cdots + (k(k-1) + (2k-1)).$$Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ benar, yaitu $$(k+1)^3 = ((k+1)(k) + 1) + ((k+1)(k) + 3) + \cdots + ((k+1)(k) + (2k-1)) + ((k+1)(k) + (2k+1)).$$Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} (k+1)^3 & = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 \\ & = {\color{red}{(k(k-1) + 1) + (k(k-1) + 3) + \cdots + (k(k-1) + (2k-1))}} + 3k^2 + 3k + 1 \\ & = (k(k-1) + 1) + (k(k-1) + 3) + \cdots + (k(k-1) + (2k-1)) + 2k^2 + (k^2 + k) + (2k + 1) \\ & = (k(k-1) + 1) + (k(k-1) + 3) + \cdots + (k(k-1) + (2k-1)) + \underbrace{2k + 2k + \cdots + 2k}_{\text{Sebanyak}~k} + k(k + 1) + (2k + 1) \\ & = (k(k-1+2) + 1) + (k(k-1+2) + 3) + \cdots + (k(k-1+2) + (2k-1)) + k(k + 1) + (2k + 1) \\ & = ((k+1)k + 1) + ((k+1)k + 3) + \cdots + ((k+1)k + (2k-1)) + ((k+1)k + (2k + 1)). \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$ 

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan $P(n): n > 0.$
Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh $P(1): 1 > 0$.
Pernyataan ini jelas benar. Jadi, $P(n)$ benar untuk $n = 1$. Langkah basis selesai.
Langkah induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku $P(k): k > 0.$
Asumsikan $P(k)$ benar sehingga harus ditunjukkan bahwa $P(k+1): k + 1 > 0$ juga benar.
Perhatikan bahwa $k > 0$ (berdasarkan asumsi) menunjukkan $k$ merupakan elemen dari himpunan bilangan positif $\mathbb{P}$, atau ditulis $k \in \mathbb{P}.$ Ini juga sama untuk $1 > 0$ sehingga $1 \in \mathbb{P}$. Untuk itu, berdasarkan definisi kepositivan bilangan: jika $a, b \in \mathbb{P}$, maka $a + b \in \mathbb{P},$ terbukti bahwa $k + 1 > 0.$
Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$
Komentar: Anda tidak boleh menerka bahwa setiap bilangan asli adalah bilangan positif dengan hanya melihat anggota/elemen himpunan bilangan asli itu. Konsep yang ditegaskan dalam hal ini adalah kepositivan bilangan. Konsep ini dipelajari untuk menjawab definisi kepositivan, bagaimana suatu bilangan bisa dikatakan positif atau negatif, dan sebagainya.

Misalkan $n \ge 5$ merupakan bilangan bulat. Diberikan $P(n): 2^n > n + 20.$
Langkah Basis:
Untuk $n = 5$, diperoleh
$P(5): 2^5 = 32 > 5 + 20 = 25.$
Jadi, $P(n)$ benar untuk $n = 5$. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan bulat $k \ge 5 ,$ berlaku $P(k): 2^k > k + 20.$
Asumsikan pernyataan di atas bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga benar dengan
$P(k+1): 2^{k+1} > (k+1) + 20.~~\bigstar$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 2^{k+1} & = 2^k \times 2 \\ & > 2(k + 20) \\ & = 2k + 40 \\ & > 2k + 21 \\ & > k + 21 \\ & = (k+1) + 20. \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(5)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k \ge 5,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap bilangan asli $n \ge 5.$ $\blacksquare$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$$P(n): \dfrac{1}{\sqrt{1}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}.$$Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh
$P(1): \dfrac{1}{1} < 2\sqrt{1} \Leftrightarrow 1 < 2.$
Jadi, $P(n)$ benar untuk $n = 1$. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k): \dfrac{1}{\sqrt{1}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{k}} < 2\sqrt{k}.$$Asumsikan $P(k)$ benar. Akan ditunjukkan $P(k+1)$ juga benar dengan
$$\begin{aligned} P(k+1) : \dfrac{1}{\sqrt{1}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{k}} + \dfrac{1}{\sqrt{k+1}}  < 2\sqrt{k+1}. \end{aligned} $$Sekarang perhatikan bahwa ekspresi di atas memberlakukan
$$\begin{aligned} 2\sqrt{k} + \dfrac{1}{\sqrt{k+1}} & < 2\sqrt{k+1} + \dfrac{1}{\sqrt{k+1}} \\  2\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}} & < 2\sqrt{k+1} \\  2\sqrt{k^{2}+k}+1 & < 2k+2 \\  2\sqrt{k^{2}+k} & < 2k+1 \\  4k^{2}+4k & < 4k^{2}+4k+1 \\  0 & < 1. \end{aligned}$$Ketaksamaan terakhir jelas benar (berdasarkan teorema kepositivan dalam analisis real). Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli dan $a > 1.$ Definisikan $P(n) : a^n > 1.$
Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh $P(1) : a^1 = a > 1.$
Jadi, $P(n)$ benar untuk $n = 1$. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku $P(k) : a^k > 1.$
Asumsikan $P(k)$ bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga bernilai benar dengan $P(k+1) : a^{k+1} > 1.$
Terdapat suatu teorema (dalam bidang kajian analisis real) yang menyatakan bahwa jika $a > b$ dan $x > y$, maka $ax > by$ untuk $a, b, x, y \in \mathbb{R}.$ 
Diketahui bahwa $a > 1$ dan juga dari asumsi bahwa $a^k > 1.$ Dengan menggunakan teorema tersebut, didapat
$a \cdot a^k > 1 \times 1 \Leftrightarrow a^{k+1} > 1.$
Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$ 

Misalkan $n$ merupakan bilangan bulat positif dan $0 < a < 1.$ Definisikan $P(n) : 0 < a^n < 1.$
Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh $P(1) : 0 < a^1 < 1.$
Jadi, $P(n)$ benar untuk $n = 1$. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku $P(k) : 0 < a^k < 1.$
Asumsikan $P(k)$ bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga bernilai benar dengan $P(k+1) : 0 < a^{k+1} < 1.$
Terdapat suatu teorema (dalam bidang kajian analisis real) yang menyatakan bahwa jika $0 < a < b$ dan $0 < x < y,$ maka $0 < ax < by$ untuk $a, b, x, y \in \mathbb{R}.$ 
Diketahui bahwa $0<a<1$ dan juga dari asumsi bahwa $0<a^k <1$. Dengan menggunakan teorema tersebut, didapat
$0 < a \cdot a^k < 1 \times 1 \Leftrightarrow 0 < a^{k+1} < 1.$
Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$

Misalkan $n$ merupakan bilangan asli. Definisikan
$P(n)$: $1+\dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{n^2} \leq 2-\dfrac{1}{n}.$ 
Langkah Basis:
Untuk $n = 1$, diperoleh
$P(1)$: $1 \leq 2 -\dfrac{1}{1} = 1.$
Jadi, $P(n)$ benar untuk $n = 1$. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k,$ berlaku
$$P(k): 1+\dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{k^2} \leq 2-\dfrac{1}{k}.$$Asumsikan $P(k)$ bernilai benar. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga bernilai benar dengan
$$P(k+1): 1+\dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{k^2} + \dfrac{1}{(k+1)^2}\leq 2-\dfrac{1}{k+1}.$$Perhatikan bahwa
$\boxed{\begin{aligned} & k(k+1) \leq (k+1)(k+1) \\ & \dfrac{1}{k(k+1)} \geq \dfrac{1}{(k+1)(k+1)} \\ & \dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} -\dfrac{1}{k+1}. \end{aligned}}$
Pada pertidaksamaan
$1+\dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{k^2} \leq 2-\dfrac{1}{k},$
tambahkan $\dfrac{1}{(k+1)^2}$ pada kedua ruasnya sehingga ditulis
$$\begin{aligned} \underbrace{1+\dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{k^2}}_{\leq 2 -\frac{1}{k}} \color{blue}{+\dfrac{1}{(k+1)^2}} \leq 2-\dfrac{1}{k} \color{blue}{+\dfrac{1}{(k+1)^2}}.  \end{aligned}$$Dengan menggunakan ketaksamaan $\dfrac{1}{(k+1)(k+1)} \leq \dfrac{1}{k(k+1)}$, didapat
$$2 -\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{(k+1)^2} \leq 2 -\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k(k+1)}.$$Tambahkan bilangan positif $\dfrac{1}{k}$ di ruas kanan sehingga tanda pertidaksamaan tidak berubah. 
$$2-\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{(k+1)^2} \leq 2 -\dfrac{1}{k} \color{blue}{+ \dfrac{1}{k}} + \dfrac{1}{k(k+1)}.$$Dari bentuk di atas, diperoleh
$$2-\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{(k+1)^2} \leq 2-\dfrac{1}{k(k+1)}$$atau dikembalikan sebagai
$$\begin{aligned} 1+\dfrac{1}{2^2} +\cdots+\dfrac{1}{k^2}+ \dfrac{1}{(k+1)^2} \leq 2-\dfrac{1}{k(k+1)}. \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(1)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap $n \in \mathbb{N}.$ $\blacksquare$ 

Misalkan $n \ge 4$ merupakan bilangan asli. Definisikan $P(n) : 2^n < n!.$
Langkah Basis:
Untuk $n = 4$, diperoleh
$P(4) : 2^4 = 16 < 4! = 24.$
Jadi, $P(n)$ benar untuk $n = 4$. Langkah basis selesai.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k \ge 4,$ berlaku $P(k): 2^k < k!.$
Asumsikan $P(k)$ bernilai benar untuk $k \geq 4.$ Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga bernilai benar dengan
$P(k+1): 2^{k+1} < (k+1)!.$
Perhatikanlah fakta yang dapat digunakan untuk menjalankan induksi sebagai berikut. 
$$k \geq 4 \Rightarrow k > 1 \Leftrightarrow k + 1 > 2$$ Sekarang perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 2^k & < k! \\ \color{blue}{2} \cdot 2^k & < \color{blue}{(k+1)} \cdot k! \\ 2^{k+1} & < (k+1)!. \end{aligned}$$Jadi, $P(k+1)$ benar. Karena $P(4)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k \ge 4,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap bilangan asli $n \ge 4.$ $\blacksquare$ 

Jumlah uang dengan kombinasi pecahan uang Rp2.000,00 dan Rp5.000,00 dapat ditulis sebagai $2a + 5b$ dengan $m$ dan $n$ berturut-turut menyatakan banyak pecahan uang Rp2.000,00 dan Rp5.000,00. Penukaran uang tentunya dilakukan saat uang yang kita miliki lebih besar. Jadi, kita membuat konjektur bahwa uang senilai $n$ ribu rupiah dapat ditukar untuk setiap bilangan asli $n \ge 6.$
Misalkan $P(n)$ menyatakan uang senilai $n$ ribu rupiah dapat ditukar dengan uang Rp2.000,00 dan Rp5.000,00.
Langkah Basis:
$P(6)$ benar karena 6 ribu rupiah dapat ditukar oleh 3 lembar pecahan uang Rp2.000,00.
Langkah Induktif:
Misalkan untuk sembarang bilangan asli $k \ge 6,$ $P(k)$ benar, yaitu uang senilai $k$ ribu rupiah dapat ditukar dengan uang Rp2.000,00 dan Rp5.000,00. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ benar, yaitu uang senilai $k+1$ ribu rupiah dapat ditukar.
Ada dua kemungkinan yang harus ditinjau.
Kemungkinan 1:
Jika kita menukar $k$ ribu rupiah dengan pecahan uang Rp2.000,00 saja, paling sedikit dibutuhkan 3 lembar pecahan uang tersebut (karena $k \ge 6$). Ganti 2 lembar pecahan uang Rp2.000,00 dengan $1$ lembar pecahan uang Rp5.000,00 sehingga $k+1$ ribu rupiah dapat ditukar.
Kemungkinan 2:
Jika kita menukar $k$ ribu rupiah dengan pecahan uang Rp5.000,00 saja, paling sedikit dibutuhkan 2 lembar pecahan uang tersebut (karena $k \ge 6$). Ganti 1 lembar pecahan uang Rp5.000,00 dengan $3$ lembar pecahan uang Rp2.000,00 sehingga $k+1$ ribu rupiah dapat ditukar.
Karena dua kemungkinan itu terpenuhi, kita simpulkan bahwa $P(k+1)$ benar.
Karena $P(6)$ benar dan untuk sembarang bilangan asli $k \ge 6,$ kebenaran $P(k)$ mengimplikasikan kebenaran $P(k+1),$ berdasarkan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan $P(n)$ benar untuk setiap bilangan asli $n\ge 6.$ $\blacksquare$